“算术–几何平均数”既不是算术平均数，也不是几何平均数，由素有“数学王子”之称的德国数学家高斯首先发现和研究。算术-几何平均数，当然与“算术平均数”和“几何平均数”这两个概念有很深的关系。我们知道，但凡一个数学概念或定理，哪怕再简单不过，只要和高斯扯上关系，那就一定不简单了。带着耐心，我们来看看高斯关于算术-几何平均数的研究。
预备知识
对于两个正实数a和b（不妨设0
我们有基本不等式，
等号当且仅当a=b时成立。
证明也不难:
从数的角度
从形的角度
一目了然。
正文
算术平均数和几何平均数的概念相当简单，绝大部分人认识到基本不等式这一步求积分的公式，可以说是功德圆满了。继续研究的话，无非两个方向：
第一，由两个数向三个、四个乃至任意n个正数的推广：
第二，研究其他类型的平均，比如立方平均，平方平均，调和平均（倒数平均）以及它们之间的大小关系，得到更高级的基本不等式：
也就是“立方平均数≥平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数”。
上面的不等式同样可以推广到任意n个正数的情形。
绝大部分数学家走到这一步，也可以说是功德圆满了。
高斯，却另辟蹊径。
平均，平均，既然叫做”平均数“，自然介于两者之间，缓和了最大与最小。完整的基本不等式应该是：
由a和b，得到(a+b)/2和√ab，显然
距离不到原来的一半。
令a1=√ab,b1=(a+b)/2,再计算它们的算术平均数和几何平均数，又有
同样地，它们之间的距离为
这个过程可以无限进行下去，也就是
那么数列{an}单调递增有上界，数列{bn}单调递减有下界，且当n趋于无穷时，
于是数列{an}和{bn}收敛到相同的极限。
高斯就把这个极限叫做a和b的算术-几何平均数（Arithmetic-Geometric Mean）。记为AGM(a,b)。
高斯当时只研究了算术-几何平均数。但顺着他的这个思路求积分的公式，我们当然还可以发明“算术-平方平均数”，“算术-调和平均数”，“平方-调和平均数”等概念。只需要在上面的迭代过程中，an和bn分别取an-1和bn-1不同的平均数即可。
这些平均数的数值都很容易计算，编个程序，迭代几次就能得到精度相当高的结果，收敛很快。
比如对1和2，小编用MATLAB编程，得到它们的算术-几何平均数约等于1.456791031046907，算术-平方平均数约等于1.540836469462489，平方-调和平均数约等于1.45458688740267。有兴趣的话可以试着计算其他组合的平均数。在计算的过程中，小编发现了一个很有意思的结论。限于篇幅，暂且不表。
本来两个数的平均，算数平均也好，几何平均也好，都很简单，计算简单，结果也简单。对1和2，它们的算术平均是1.5，几何平均是√2，平方平均是√(5/2),调和平均是4/3。然而对如此简单的1和2，它们的算术-几何平均数的卖相却如此“丑陋”！1.456791031046907…..看起来似乎还是个超越数！！！到底是何方神圣？
高斯并不仅仅满足于数值运算。很快，他就找到算术-几何平均数AGM(a,b)的解析表达：
圆周率π，三角函数，微积分……等等，算术-几何平均数怎么会和这些概念扯到一起？？？
当年，高斯22岁。
后续
研究这些平均数，有什么用呢？
对我们来说，可以作为一种数学游戏，具有启发思维的作用。也许，可以应用在某个我们暂时还不知道的领域。
但高斯，他研究算术-几何平均数绝非一时的游戏之作。
作为一个“能从九霄云外的高度按照某种观点掌握星空和深奥数学的天才“，高斯发现，算术-几何平均数跟椭圆积分有很深的联系。
举个例子，有不少人对双纽线比较熟悉，双纽线是平面上到两个定点的距离之积为常数的动点轨迹（类比一下椭圆），长得像一个无穷符号。方程如下：
学过高数的人应该知道，双纽线的面积是2a^2。但我们这里来看双纽线的周长。
为了简单起见，在上图中取a=1，它的极坐标方程是
根据对称性，其周长
利用高斯计算AGM(a,b)的公式，我们很容易得到该双纽线的周长
为了纪念高斯，称
为高斯常数（Gauss’s Constant）。
双纽线的周长计算其实是一种椭圆积分，而椭圆积分的反演就是椭圆函数。椭圆函数可以说是19世纪的数学界在复变函数论方面取得的最为辉煌壮观的成果，没有之一。
人类历史上第一个被研究的椭圆函数，就是双纽线周长的积分反演。而研究它的，正是高斯。
椭圆函数在数论方面的应用发展出了模函数、模曲线、自守形式等理论。上世纪末，怀尔斯证明了费尔马大定理，应用的基本工具之一正是椭圆函数。
思考题
高斯22岁发现的定理
有人对证明感兴趣吗？证明仅仅用到了高等数学的基础知识，没有任何知识盲点。如果感兴趣的话，私信或留言告诉我，分享你的思考证明过程。视情况，我将在下一篇贴出。
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