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摘要:本文就矩阵的秩不等式进行的讲解分析,秩不等式常常作为考研的热点考察内容,不仅与线性方程组具有联系,而且在之后的线性变换也会有所应用,希望大家务必重视,熟练掌握本节的所有内容.
定理 1. 设 A 是数域 P 上的 s × n 矩阵,B 是数域 P上的 n × m 矩阵,于是
即乘积的秩不超过各因子的秩.
证明:设 A 的列向量组是
则
上式表明,AB的列向量组可以由A的列向量组线性表出,因此,AB的列秩小于等于A的列秩.即
利用上面这个结论同理可得
综上所述可得
推论 1. 如果
那么
定理 2.
证明:设A,B的列向量组分别为
则A+B的列向量组为
设
是向量组 的一个极大线性无关组;设 是向量组 的一个极大线性无关组.则可由向量组
线性表出,因此
于是
定理 3 .
岩宝小提示:此命题很重要,这里留给大家自己证明.
定理 4. 证明:
则
证明:
由于 所以
从而
定理 5.
例1. 设A是n阶方阵,证明:
证明: 可以证明方程组
有完全相同的解.
事实上,若
则左乘 A 得到 即 的解都是 的解.
反之,若
则必有否则,反证: 设 则 n+1 个 n 元向量
线性无关.(因为若
依次用
左乘上式可得矛盾.所以 因此 的解也都是 的解,所以
同理可得
岩宝小提示:根据本题来看,我们应该学会一种思路,在证明矩阵秩相等的时候,应该想到巧用线性方程组的同解去解决问题.
例 2. 设 A 和 B 都是 m × n 矩阵,证明: 若 AB = 0, 则
证明:设
则由AB=0,可知,B的每一个列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量.
当r=n时,由于该齐次线性方程组只有零解,故此时B=0,即此时
此时结论成立。
当 r < n 时,该齐次线性方程组的基础解系中含 n-r 个向量,从而B的列向量组的秩小于等于n-r. 即
所以
岩宝小提示:我们在处理秩不等式的时候,要联想到利用齐次线性方程组AX=0中系数矩阵的秩和基础解系的关系去处理.
例3.(2020中国科学院大学)设A是n阶方阵.证明:若
则
练习:利用分块矩阵证明本题。
证明:因为
则有
由例2可得,
另一方面,有
故得
岩宝小提示:在我们处理这一类问题的时候,要想到分开证明,分大于等于和小于等于两方面进行突破即可.
例4. (2020 兰州大学)设 A, B, C 依次是 m × n, n × s, s × t 矩阵. 证明不等式:
证明: 设 分别为 s, t 阶单位矩阵,则由于
且
是可逆矩阵,故
从而
岩宝小提示:本题强调
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可逆的原因是,对于一个矩阵而言,我们左乘或者右乘一个可逆矩阵,不会改变原矩阵的秩.
例5. (2020 湖南师范大学)设 A 为 m × n 矩阵,B 为 n × s 矩阵. 证明:
证明:设E为n阶单位方阵矩阵的秩的应用, 为 s 阶单位方阵,则由于
因为
可逆,故
从而
岩宝同步思考题
1.(2012武汉大学)设A,B为同阶方阵,证明:
2.(2020北京师范大学)设A是实矩阵,证明:
提示:转化为同解线性方程组.
3.设A,B都是任意的n阶矩阵,证明:
4.(2020中国海洋大学)设A为n阶方阵,证明:
(1)若k为正整数, 是 的解,当 不是 的解时,则 线性无关.
(2)当正整数 时矩阵的秩的应用,必有
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