众所周知，分数m/n化为小数后，只可能是有限小数或无限循环小数，不可能是无限不循环小数。这是为什么？
要考虑这个问题，可以从反面去理解，先考虑无限循环小数如何化为分数，以0.2231231231…为例，转化过程很简单，就是利用99…99的性质，由于1/999=0.001001…，故转化过程为：
0.2231231231…
=0.2+0.1*0.231231…
=1/5+231/9990
=2229/9990=743/3330。
观察上述过程，转化是先把无限循环小数化为分母形如99…9900…00的分数，然后再将这个分数化为最简分数。
自然想到，要证明分数m/n不能转化为无限不循环小数，也是要利用99…9900…00作为中介。
总的证明思路分两步：
先证明n能被某个99…9900…00整除；再将m/n等价于k/99…9900…00，从而说明k/99…9900…00不是无限不循环小数。
步骤1：
先思考第一个问题，
证明n能被某个99…9900…00整除。
关于这个问题我们用鸽笼原理说明，
考虑1,10,100,…,10n这n+1个数，
由于任何一个正整数除以n后，
余数只能是0到n-1这n个数。
娜娜项目网每日更新创业和副业项目
网址：nanaxm.cn 点击前往娜娜项目网
站 长 微 信： nanadh666
把n种余数看作鸽笼，
把前面的n+1个数看作鸽子，
则定有两个数除以n的余数相同，
则这两个数的差能被n整除。
由于差都形如99…9900…00，
因此n能被某个99…9900…00整除。
步骤2：
再思考第二个问题，
考虑证明原结论。
在步骤1的基础上继续思考，
假设99…9900…00=nd,
则m/n=(md)/99…9900…00,
注意到上式右边或者是有限小数，
或者是无限循环小数，
所以分数可能化为无限不循环小数。
在原结论证明完成后无限循环小数，善于思考的你可能会琢磨另一个问题，最简分数m/n如果可以化成无限循环小数，循环节最多是多少位？
事实上，这个问题可以在步骤1和步骤2中寻找答案。在步骤1中得到，n能被某个99…9900…00整除，由于99…9900…00是1,10,100,…,10n这n+1个数中两个数的差，显然99…9900…00最多是n位数，因此其中最多有n个9。在步骤2中把m/n化为了(md)/99…9900…00，这个分数的循环节只与99…99有关，其中有多少个9无限循环小数，循环节就有多少位。
所以结论是：如果最简分数m/n可以化为无限循环小数，循环节最多是n位。
今天的重点不是证明过程，而是第5段话，如何想到用99…9900…00作为中介，这是本文的核心。
思考题（4星难度）：
本题来自日本数学奥林匹克竞赛。
a和b都是正整数，a+b是一个能被11整除的两位数，a*b是一个能被111整除的三位数，求所有满足条件的a和b。
欢迎把您的答案写在留言区。都看到这里了，顺手点个“在看”再走吧。
娜娜项目网每日更新创业和副业项目
网址：nanaxm.cn 点击前往娜娜项目网
站 长 微 信： nanadh666