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摘要:本文就矩阵的秩不等式进行的讲解分析,秩不等式常常作为考研的热点考察内容,不仅与线性方程组具有联系,而且在之后的线性变换也会有所应用,希望大家务必重视,熟练掌握本节的所有内容.

定理 1. 设 A 是数域 P 上的 s × n 矩阵,B 是数域 P上的 n × m 矩阵,于是

即乘积的秩不超过各因子的秩.

证明:设 A 的列向量组是

上式表明,AB的列向量组可以由A的列向量组线性表出,因此,AB的列秩小于等于A的列秩.即

利用上面这个结论同理可得

综上所述可得

推论 1. 如果

那么

定理 2.

证明:设A,B的列向量组分别为

则A+B的列向量组为

是向量组 的一个极大线性无关组;设 是向量组 的一个极大线性无关组.则可由向量组

线性表出,因此

于是

定理 3 .

岩宝小提示:此命题很重要,这里留给大家自己证明.

定理 4. 证明:

证明:

由于 所以

从而

定理 5.

例1. 设A是n阶方阵,证明:

证明: 可以证明方程组

有完全相同的解.

事实上,若

则左乘 A 得到 即 的解都是 的解.

反之,若

则必有否则,反证: 设 则 n+1 个 n 元向量

线性无关.(因为若

依次用

左乘上式可得矛盾.所以 因此 的解也都是 的解,所以

同理可得

岩宝小提示:根据本题来看,我们应该学会一种思路,在证明矩阵秩相等的时候,应该想到巧用线性方程组的同解去解决问题.

例 2. 设 A 和 B 都是 m × n 矩阵,证明: 若 AB = 0, 则

证明:设

则由AB=0,可知,B的每一个列向量都是以A为系数方阵的齐次线性方程组的解向量.

当r=n时,由于该齐次线性方程组只有零解,故此时B=0,即此时

此时结论成立。

当 r < n 时,该齐次线性方程组的基础解系中含 n-r 个向量,从而B的列向量组的秩小于等于n-r. 即

所以

岩宝小提示:我们在处理秩不等式的时候,要联想到利用齐次线性方程组AX=0中系数矩阵的秩和基础解系的关系去处理.

例3.(2020中国科学院大学)设A是n阶方阵.证明:若

练习:利用分块矩阵证明本题。

证明:因为

则有

由例2可得,

另一方面,有

故得

岩宝小提示:在我们处理这一类问题的时候,要想到分开证明,分大于等于和小于等于两方面进行突破即可.

例4. (2020 兰州大学)设 A, B, C 依次是 m × n, n × s, s × t 矩阵. 证明不等式:

证明: 设 分别为 s, t 阶单位矩阵,则由于

是可逆矩阵,故

从而

岩宝小提示:本题强调


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可逆的原因是,对于一个矩阵而言,我们左乘或者右乘一个可逆矩阵,不会改变原矩阵的秩.

例5. (2020 湖南师范大学)设 A 为 m × n 矩阵,B 为 n × s 矩阵. 证明:

证明:设E为n阶单位方阵矩阵的秩的应用, 为 s 阶单位方阵,则由于

因为

可逆,故

从而

岩宝同步思考题

1.(2012武汉大学)设A,B为同阶方阵,证明:

2.(2020北京师范大学)设A是实矩阵,证明:

提示:转化为同解线性方程组.

3.设A,B都是任意的n阶矩阵,证明:

4.(2020中国海洋大学)设A为n阶方阵,证明:

(1)若k为正整数, 是 的解,当 不是 的解时,则 线性无关.

(2)当正整数 时矩阵的秩的应用,必有


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